La geobiologa desencadenada

El 30 de agosto 2020

Epidemiologia y matemáticas

El año 2020 está siendo muy duro. La epidemia, el confinamiento y la pérdida de seres queridos han dejado una sensación de incertidumbre y de inminente catástrofe. A esto hay que añadir las previsiones de los modelos matemáticos sobre lo que nos espera, y todo indica que lejos de mejorar la situación irá a peor. Dicho esto, entender estos modelos matemáticos, cómo se construyen, y qué tipo de información se puede extraer de ellos nos puede aportar algo de tranquilidad. En este texto, el lector encontrará una descripción de un modelo de predicción epidemiológico muy simple. Este modelo, frecuentemente aplicado a pandemias, ha servido a su vez de base para la elaboración de modelos más complejos.

Empecemos con un grupo de tamaño N compuesto por personas en su gran mayoría con buena salud. Ahora introduzcamos un germen. Este se propagará por nuestra pequeña población. Nuestro objetivo es seguir el germen y observar cómo se multiplica. Para esto, vamos a ordenar las personas por categorías. Obviamente cuando uno pilla un bacilo o un virus se desarrolla una infección antes de que el sistema inmunitario luche contra el germen y lo elimine. Entre tanto, la persona afectada puede transmitir el germen a los demás. Teniendo estos factores en cuenta, podemos dividir nuestra población en tres grupos: vulnerables o susceptibles, infectados, y recuperados. Consideramos que todos son iguales (o sea, que son todos iguales de sanos y que están en contacto con los demás la misma cantidad de tiempo), y que por lo tanto cada individuo tiene las mismas posibilidades de ser contagiado con el germen, de desarrollar la infección y de recuperarse. Todos pasan por la etapa “susceptible”, “infectado”, “recuperado”. Este concepto está representado en el esquema 1.

UnchGeochem_SIR_1

Esquema 1 : las tres categorías de nuestro grupo de tamaño N: los vulnerables o Susceptibles (S), Infectados (I), y Recuperados (R), y las transiciones entre categorías.

Este tipo de modelo se conoce como el modelo SIR: Susceptibles (S), Infectados (I), y Recuperados (R) (véanse las referencias 1 y 2 para más detalles). Lo que queremos entender es de qué manera cada categoría cambia con el tiempo. En otras palabras, si el tamaño de los grupos S, I, R aumenta o disminuye, en qué momento éste cambio tiene lugar y los parámetros que controlan dichos cambios. Una versión más sencilla de este modelo es conocida como modelo Kermack-McKendrick, que fue usado para entender el aumento y la caída del número de pacientes infectados durante las grandes epidemias europeas, como la peste (en Londres en 1665 y en Bombay en 1906) y el cólera (en Londres, 1865) (véanse las referencias 1 y 2 para más detalles).

El fundamento de los modelos SIR reside en un sistema de ecuaciones que dependen las unas de las otras (ecuaciones 1 a 4). Nótese que dX/dt indica la pendiente en X (dX, o sea, la variable que nos interesa) en función de un intervalo de tiempo bien definido (dt, y puede ser un día, una semana, hasta un año, dependiendo de lo que nos interese entender).

UnchGeochem_SIR_Eq

La primera ecuación es particularmente interesante. Nos indica que, en todo momento durante la epidemia, si sumamos los grupos S(t), I(t), y R(t), el valor final será igual a N. Por lo tanto, el tamaño de nuestro grupo total de personas es constante, no importa cuánto cambien S, I, y R. Esta conjetura de la constancia de N es esencial. Si, digamos, nuestro modelo matemático no nos da resultados razonables (por ejemplo, si no reproduce datos ya observados, o si predice una situación improbable), puede ser que nuestra suposición inicial sea incorrecta, y que en realidad N varía mucho. Esto pasaría si personas que no se tomaron en cuenta se agregaran a nuestra población inicial y participaran a la transmisión del germen. En todo caso, si las suposiciones iniciales no son correctas, no es razonable anticipar que nuestro modelo represente la realidad. Las ecuaciones 2, 3 y 4 tienen una forma típica de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias en las que las variables S, I, y R están compartidas por las varias ecuaciones del sistema.

La transición entre las categorías S, I, y R depende directamente de β (la facilidad con la que el germen se transmite de una persona a otra), γ (la velocidad de recuperación), y del número de individuos afectados. Cuantas más personas vulnerables haya, mayor será el número de personas que pasarán de la categoría S a la categoría I. Y la cantidad de personas infectadas seguirá aumentando hasta que, o bien ya no queden personas vulnerables que infectar, o bien las personas infectadas se recuperen. Cada vez que una persona se recupera de la infección, el tamaño de I disminuye y el de R aumenta. Si la velocidad de recuperación g tiene un valor alto, el proceso será aún más rápido. El gráfico número 2 ayuda a visualizar estos cambios al mostrar cómo cambia el número de personas en cada categoría con el tiempo.

 

UnchGeochem_SIR_2

Gráfico número 2 : La cantidad de personas Susceptibles, Infectadas y Recuperadas se presenta en función del tiempo. Los valores de β y γ fueron elegidas al azar (con valores 2 y 1 por unidad de tiempo respectivamente). Las condiciones iniciales impuestas incluyeron pocos infectados y ningún individuo recuperado.

 

¿Qué podemos aprender con este modelo? ¿Y cómo lo usamos para tomar decisiones? Ya que nos permite visualizar la evolución de la epidemia, podemos usar esta información para saber si el germen se propagará rápidamente y el número de personas afectadas en todo momento. Así se puede determinar si los servicios sanitarios serán capaces de controlar la situación y si hay que tomar medidas más drásticas para proteger a los miembros más vulnerables de la población. Por ejemplo, dividiendo la velocidad de infección β por la de recuperación γ uno calcula el valor de reproducción R0 del germen. En otras palabras, R0 nos indica el número de personas al que un individuo contagiado transmitirá el germen antes de recuperarse por completo (véanse las referencias 2 y 4 para más detalles). R0 es útil para tomar decisiones: si tiene un valor demasiado alto, es lógico decidir que lo mejor es aislar la persona infectada y disminuir la propagación incontrolada del germen.

Hay que admitir que esta versión de modelos epidemiológicos, aunque sorprendentemente simple, es muy eficaz. Existen otras versiones más complejas y sofisticadas. Dichas versiones pueden, por ejemplo, permitir que el valor de N cambie a medida que la pandemia se desarrolla al permitir, por ejemplo, la incorporación de nuevos individuos nacidos durante la epidemia, o la muerte de pacientes si la enfermedad es letal. Además, β y γ pueden diferir entre individuos: la edad de las personas y la existencia de otras enfermedades puede alterar la manera en la que el germen los afecta. ¿Y qué pasa si el germen se puede contagiar incluso después de recuperarse? ¿Cómo se incluye este factor? ¿Y cómo hacemos para incluir la participación de individuos con más posibilidades de transmitir el germen (véase la referencia 3)? ¿Y los que son capaces de transmitir el germen sin presentar síntomas? ¿Cómo podemos incorporar todos estos factores en nuestros modelos? Es un asunto demasiado complejo para el texto presente. Se invita el lector/la lectora a consultar las referencias indicadas, especialmente la referencia 4, para descubrir la descripción de un modelo que incorpora a los individuos asintomáticos, con un ejemplo para codificarlo.

¿Porqué una geobiologa estaría interesada en los modelos epidemiológicos? Pues miren, soy una persona algo nerviosa, y en tiempos inciertos el uso de modelos matemáticos ayuda a encontrar algo de calma. Pero, sobre todo, el meollo de estos modelos es el mismo que los que se encuentran y aplican en el dominio de la geobiología: el concepto de categorías, cajas o compartimentos. Al tratar de comprender cómo un sistema responderá a un cambio drástico (por ejemplo, la forma en la que el ciclo de carbono está reaccionando a la inyección monumental de dióxido de carbono en la atmósfera), es útil visualizar los componentes del sistema en términos de compartimentos conectados. Con esta estructura en mano nos interesa entender la evolución de cada caja y su contenido. Para obtener dichos resultados se pueden comparar las predicciones producidas por estos modelos con tendencias observadas. El modelo y los parámetros que mejor reproducen tendencias observadas son considerados como válidos. Y para acabar en una nota más ligera, recordemos que los modelos epidemiológicos SIR son los protagonistas del episodio “Vector” de la serie de intriga NUMB3RS, en la que matemáticos y detectives usan ecuaciones para resolver  los crímenes.